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By Prof. Dr. Christian Blatter (auth.)

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Von f. Ist gradf(p)#O, so ist N. in der Umgebung von p eine Hyperjläche, und gradf(p) liegt in der Flächennormalen von N. in p. I' Es sei etwa aafx_ I #0. 8) eine Umgebung U des Punktes a:=(Pl, ... ER. und eine stetig differenzierbare Funktion derart, daß gilt U x V ist eine Umgebung des Punktes pE lR". Bezeichnen wir den in U x V liegenden Teil von N. mit S, so besagt (1): S ist die durch gegebene Hyperfläche (vgl. 1»); dabei ist Ip(a)=p. (a) die Nullabbildung. 6) und nach Definition der Tangentialebene schreiben: gradf(p)·X=O VXESp, das heißt aber: gradf(p) steht senkrecht auf Sp.

13): 1 ist im Punkt a' gradl(a')=0 . 6) und (1) haben wir daher weiter Hiernach macht f*(a) alle Vektoren XElmcp*(a')=S. X=O VXES.. , so heißt a ein (bezügf. 13) auch folgendermaßen formulieren: lich S) bedingt. stationärer Punkt von 33 225. 5') Ist fEC1(A) im Punkt aES bedingt lokal extremal bezüglich S, so ist f dort bedingt stationär. @ Wir betrachten noch einmal das vorhergehende Beispiel @. G). 0 225. 1) erhalten. Es ist nun bemerkenswert, daß sich die bedingt stationären Punkte einer Funktion f auf eine Weise charakterisieren lassen, die keine explizite Darstellung von S benötigt.

Xn ) = 0, ... (X l' ... , Xn ) = 0 zusammen mit (2) OF-] rang [ox~ x =r eine (n-r)-Fläche Sc:A. I Sei a ein Punkt von S; dann besitzt die Matrix ox: [OF-] a nach Voraussetzung eine nicht verschwindende Unterdeterminante der Ordnung r, es ist also z. B. CFl ... OF1] oX l oXr (3) [ det: : oFr oFr oX l oXr ~o. a 22. 8) lassen sich daher die Gleichungen (1) in einer geeigneten Umgebung W von a nach den Variablen XI, ... h. sie sind dort äquivalent mit für gewisse CI-Funktionen CfJk. 1) reguläre Parameterdarstellung cp: (X, + I' ...

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